Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Schrödinger, Komplexe Zahlen, Vektorräume

Stand: 02.08.2022

Die Dirac-Notation

In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\). So einen Vektor

\( \vec{v} \in V \)

scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:

\( |v\rangle \)

Dies ist Teil der sog. Bra-Ket-Notation von  Jean Paul Dirac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Zu jedem Ket-Vektor definieren wir noch einen sog. Bra-Vektor:

\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)

Wobei v^* der komplex konjugierte und v^T der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.

Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.

Zu dieser Bra-Ket-Notation gibt es enorm viele Youtube-Videos. Ein ganz einfaches ist: https://youtu.be/pBh7Xqbh5JQ

Einig sind sich alle Authoren über die Frage, was ein Ket-Vektor ist: eben ein “normaler” Vektor aus unserem Vektorraum V (also ein “Spaltenvektor”:

\( |v\rangle  = \left( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ \vdots \\\ v_n  \end{array}\right) \)

Aber was um Himmelswillen ist der dazugehörige Bra-Vektor?

Einfache Gemüter sagen einfach:

\( \langle v|  = \left( \begin{array}{r} v_1^\ast & v_2^\ast & \cdots & v_n^\ast  \end{array}\right) \)

Der etwas nachdenkliche Mathematiker fragt sich:

• “Konjugiert komplex” ist ja zunächst nur für Skalare (komplexe Zahlen) definiert. Kann man auch zu einem Vektor den konjugiert komplexen bilden?
• Mit endlichen Dimensionen geht das ja alles so. Aber in der Quantenphysik wird man doch mit Hilberträumen unendlicher Dimension arbeiten. Wie funktionieren diese Konzepte denn da?

Skalarprodukt

MIt HIlfe von Bra-Vektor und Ket-Vektor definieren wir nun ein Skalarprodukt (inneres Produkt):

Das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben wir als:
\( \langle v | w \rangle \)

Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?

Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):

\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)

Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.

Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

\( | v \rangle  = \sum{v_i |  b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)

definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i}  \)

Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |b_i> und |b_j> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:

Die Komponenten von |b_i> sind δ_ij und die Komponenten von |b_j> sind δ_ji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:

\( \langle b_i |  b_j \rangle = \sum{{\delta_{ij}}^\ast  \delta_{ji} } = \delta_{ij} \)

Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.

Das so definierte Skalarprodukt ist nicht mehr kommutativ, sondern “hermitisch”; d.h.:

\( \langle v, w \rangle  = \langle w, v \rangle ^\ast \)

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer reelwertig und “positiv definit”.

Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.

In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Dirac (1902-1984) die nach ihm benannte Dirac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.

Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.

So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).

Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.

In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:

\( a  |\Psi_1\rangle + b  |\Psi_2\rangle \\ \)

schreibt man einfach:

\( a  |1\rangle + b  |2\rangle \\ \)