Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum

Wie werden Wellen beschrieben und wie helfen Covektoren dabei?

Vektoren und Covektoren

Ein Vektor ist wie ein Pfeil, also etwas, was eine Richtung und eine Größe hat.

Ein Covektor ist  wie ein “Stack”, also etwas was eine Richtung und eine Dichte hat.

So ein Feld von Covektoren ordnet jedem Vektor eine Zahl zu, nämlich die Zahl an “Stack-Linien”, die der Vektor in seiner Länge kreuzt; wobei da auch nicht-ganze Zahlen und auch negative Zahlen sein können. Vermutlich ist das bei genauerer Betrachtung ein Differentialquotient.

Etwas genauer gesagt ist ein Covektor also eine Abbildung, die jedem Vektor aus einem Vektorraum V über K eine Zahl aus dem Körper K zuordnet:

\( \alpha : V \to K \)

Die Kovektoren α verhalten sich “linear” bei Vektoraddition und Skalierung und bilden also selber einen Vektorraum (Symbol V^*). In Formeln also:

\( \alpha(a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{w}) = a \cdot \alpha(\vec{u}) + b \cdot \alpha(\vec{w})  \)

Mit einer Vektorbasis kommt man zur Darstellung eines Vektors durch sog. Komponenten. Die Komponenten von (normalen) Vektoren verhalten sich “kontravariant” und wir schreiben den Index oben, die Komponenten von Kovektoren verhalten sich “kovariant” und wir schreiben den Index unten.

Beschreibung von Wellen

Bei einer Welle ändert sich eine physikalische Größe periodisch sowohl mit der Zeit als auch mit dem Ort.

Die periodische Veränderung über den Ort wiederholt sich nach eine Wellenlänge (Symbol: Lambda \( \lambda \)).
Man misst auch die Anzahl Schwingungen pro Längeneinheit, was Wellenzahl genannt wird (Symbol:  Kappa κ).

Die periodische zeitliche Veränderung wiederholt sich nach eine Periodenlänge (Symbol: T). Man misst das auch als Frequenz (Einheit: Schwingungen pro Sekunde = Hertz)

In Formeln:

\( \kappa = \frac{1}{\lambda} \)

Insofern kann man eine Welle sehr gut als Covektor-Feld beschreiben, wo wir eine Richtung haben und eine Dichte d.h. wieviel Wellen pro Zeiteinheit…

Quelle: Youtube Video: https://youtu.be/Q8SfVDr4OjU