Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Hintergrundstrahlung, MP3-Format, Multipol-Moment

Stand: 24.10.2022

Taylor-Entwicklung – Fourier-Entwicklung

Wir versuchen eine kompliziertere Funktion in eine Summe einfacherer zu zerlegen.

Bei der Taylor-Entwicklung (Brook Taylor 1685 -1731) betrachten wir einen Punkt der Funktion und wollen in der Umgebung dieses Punktes die Funktion “vereinfachen”, dadurch dass wir sie als Summe aus einfacheren Funktionen annähern und im Grenzwert sie damit genau darstellen.

Bei der Fourier-Entwicklung (Jean Baptist Joseph Fourier 1768 – 1830) betrachten wir eine periodische Funktion und wollen diese für eine Periode durch eine Summe einfacherer periodischer Funktionen approximieren (im Grenzwert genau darstellen).

Taylor-Entwicklung

Wir wollen hier eine Funktion y=f(x) in der Nähe einer Stelle x₀ durch eine Potenzreihe annähern:

\( f(x) = f(x_0) + a_1 (x-x_0) + a_2 ( x – x_0)^2 + a_3 (x – x_0)^3 + \ldots \\ \)

Das ist eine Linerakombination der Potzenzen (Monome genannt).

Die Koeffizienten in dieser Taylor-Entwicklung kennen wir: \(a_i = \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} \) damit ist:

\( f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0) (x-x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!} ( x – x_0)^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!} (x – x_0)^3 + \ldots \\ \)

Bleibt x in der Nähe von x0, so ist (x-x0) klein und wir können näherungsweise die Tayler-Entwicklung irgendwann abbrechen – wenn es genauer sein soll, müsen wir weitere Terme hinzunehmen.

Der Sinn einer solchen Taylor-Entwicklung ist häufig, dass die entstandene Potenzreihe einfacher zu handhaben ist als die Originalfunktion (z.B. in Formeln, z.B. die Ableitungen,…)

Physiker brechen gern nach dem zweiten Term ab und nennen das eine Linearisierung; also:

\( f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) \\\)

Das machten wir – schon in der Schule – beim Fadenpendel.

Und auch Einstein machte das bei seiner berühmten Formel E = mc² .

In der Tat zeigt die Mathematik, unter bestimmten Voraussetzungen konvergiert diese Taylor-Reihe. Also

\( f(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}} (x-x_0)^i\\\)

Fourier-Entwicklung

Wir betrachten eine etwas kompliziertere Funktion f(t); z.B. ein elektrisches oder akustisches Signal im Zeitverlauf. Die Funktion soll aber periodisch sein; etwa mit der Periode [-π,+π] (das wird gern genommen).

Wir wollen die Funktion durch eine Reihe von Sinus- und Cosinus-Funktionen, also durch Schwingungen, annähern:

\( f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty(a_k \cos(kt)+ b_k \sin(kt)) \\ \)

Das ist eine Linearkombination von Sinussen und Cosinussen verschiedener Frequenzen (und Amplituden).

Der Sinn so einer Fourier-Entwicklung ist jetzt primär nicht, dass das Ergebnis “einfacher” wäre, sondern man möchte etwas herausbekommen über die Original-Funktion; beipielsweise wenn die Original-Funktion ein akustisches Signal ist (siehe MP3-Format).

Die Ermittlung der Fourier-Koeffizienten a_k und b_k nennt man auch Fourier-Analyse. Fourier selbst fand als analytische Lösung:

\( a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi} f(t) cos(kt) dt \\\)

und

\( b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi} f(t) sin(kt) dt \\\)

Eine Deutung so einer Fourier-Analyse ist, dass wir eine Funktion f(t) untersuchen und die Anteile verschiedener Frequenzen ermitteln. Man spricht deshalb auch von einem Frequenz-Spektrum…

Wenn wir die Fourier-Entwicklung nach dem n-ten Term abbrechen, schreiben wir:

\( F_n  f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^n(a_k \cos(kt)+ b_k \sin(kt)) \\ \)

Das nennen wir “Fourier-Polynom n-ten Grades zu f”  (Sprachgebrauch, obwohl das kein Polynom im üblichen Sinne ist).

Statt Fourier-Analyse wird auch gern die Bezeichnung Harmonische Analyse verwendet.

Komplexe Zahlen

Gerne wird die Fourier-Analyse auch mit Komplexen Zahlen erklärt. So hilft die Eulerschen Formel dabei statt Sinus und Cosinus “einfach” eine Exponatialfunktion zu verwenden:

\(  e^{i  \cdot \phi} = \cos \phi+i \cdot \sin \phi \\\)

Damit entwickeln wir:

\( f(t) = \sum\limits_{k \in Z} c_k \cdot e^{ikt} \\\)

Was dann in der Regel zu komplexen Fourier-Koeffizenten c_k führt.

Wir unterscheiden zwischen Fourier-Analyse und Fourier-Transformation…

Diskrete Fourier-Analyse

In der Praxis kennt man die Funktion f(t) meist nicht analytisch (also als Formel), sondern hat “nur” die Funktionswerte an diskreten Stellen. Man kommt dann zu einer sog. Diskreten Fourier-Transformation (DFT).

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