Drehimpuls gehört zu: Astronomie, Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch Keplersche Gesetze, Sonnensystem, Gravitation, Bohrsches Atommodell
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Stand: 16.12.2024

Zentrifugalkraft in einer Kreisbahn

Wenn ein Körper der Masse m (z.B. Planet oder ein Elektron im Bohrschen Atommodell) eine Kreisbahn mit dem Radius r beschreibt, so muss aus Sicht des Körpers eine Kraft in Richtung vom Mittelpunkt der Kreisbahn weg wirken:

\( F = \frac{m \cdot v^2}{r} \)

Diese Kraft nennt man “Zentrifugalkraft“. Das Bezugssystem des auf einer Kreisbahn befindlichen Planeten ist kein Inertialsystem. Die Zentrifugalkraft ist eine “Trägheitskraft” (auch Scheinkraft genannt). Die Kreisbahn kommt dadurch zustande, dass eine Kraft gleicher Größe in entgegengesetzter Richtung (Zentripedalkraft genannt) wirkt.

Kreisbahnen im Sonnensystem

Im Sonnensystem wirkt die Anziehungskraft (Graviationskraft) des Zentralkörpers Sonne (Masse M) als Zentripedalkraft auf einen Planeten (Masse m)  man hat also:

\(\frac{m \cdot v^2}{r} = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}\)

Für die Kreisbahngeschwindigkeit im Sonnensystem gilt also:

\( v = \sqrt{\frac{ G \cdot M} {r}} \)

Dies ist auch ein Ausgangspunkt der Forschungen von Vera Rubin (1928-2016), die die Rotationsgeschwindigkeit in Galaxien bei unterschiedlichen Abständen vom Zentrum untersucht hat und dadurch die Existenz von sog. Schwarzer Materie bekräftigtigen konnte.

Mit den Mitteln der Vektoralgebra ausgedrückt ergibt sich die Bahngeschwindigkeit bei einer Kreisbewegung zu:

\( \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \\ \)

Die kinetische Energie eines Planeten auf einer Kreisbahn mit dem Radius R ist:

\( E_{kin}(R) = \Large\frac{m}{2} \cdot v^2 = \frac{m}{2} \cdot \frac{G \cdot M}{R}\\\)

Die potenzielle Energie ist:

\( E_{pot}(R) = \Large \int\limits_{-\infty}^R m G M r^{-2} dr = m G M \left[-\frac{1}{r}\right]_{-\infty}^R = -m\frac{GM}{R}\)

Wasserstoffatom

Im Wasserstoffatom wirkt die elektrostatische Kraft (Elektrisches Feld) des Atomkerns  (Ladung q₁) auf ein Elektron (Ladung q₂) als Zentripedalkraft; man hat also:

\(\Large \frac{m \cdot v^2}{r} =   \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}  \\\)

Für die Kreisbahngeschwindigkeit im Bohrschen Atommodell gilt also:

\( v^2 = \Large \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 m} \frac{q_1 \cdot q_2}{r} \\ \)

Definition des Drehimpulses

Klaro: Bei einer Rotation eines Systems vom Trägkeitsmoment J mit einer Winkelgeschwindigkeit ω habe ich einen Drehimpuls:

\( L = \omega \cdot J \\ \)

Da erhebt sich die Frage, was eigentlich ein “Trägheitsmoment” sein soll…

Im einfachen Fall von Körpern der Masse m (z.B. ein Planet) auf einer Kreisbahn vom Radius r (z.B. Sonnensystem) folgt aus der allgemeinen Definition des Trägheitsmoments J:

\( J = m \cdot r^2 \\\)

Damit wäre der Drehimpuls:

\( L = \omega \cdot m \ r^2 \\\)

Wenn wir dies mit der Bahngeschwindigkei \( v = \frac{2 \pi \cdot r}{T}  \) ausdrücken wollen, benutzen wir die Beziehung:
\( \omega = \frac{v}{r} \) und erhalten:

\(L = v \cdot m \cdot r \\\)

Gemessen wird der Drehimpuls also in den SI-Einheiten: \( \Large \frac{m^2 kg}{s} \)

Drehimpuls und die Keplerschen Gestze

Wenn der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, folgt aus obiger Gleichung sofort das 2. Keplersche Gesetz.

Beispiele der Erhaltung des Drehimpulses

Wir alle kennen das Beispiel der Pirouette einer Eistänzerin. Wenn die Arme angezogen werden, verringert sich das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit steigt an, da der Drehimplus erhalten bleibt.