Physik: Quantenmechanik

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kosmologie, Teilchenphysik, Von Pythagoras bis Einstein, Lineare Algebra, Plancksches Strahlungsgesetz
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Stand: 30.01.2026   (Doppelspalt-Experiment, Compton-Streuung, Observable)

Der Weg der Quantenmechanik

Im Jahr 1900 formulierte Max Planck (1858-1947) sein Strahlungsgesetz und seine Quantenhypothese. Erst um 1925 entwickelte sich daraus eine Quantentheorie/Quantenmechanik, die die physikalische Systeme im Kleinen (z.B. Elementarteilchen, Atome,…). gut beschreibt. Wesentliche Etappen sind:

Klassische Mechanik

Youtube-Video von Sean Carroll: https://youtu.be/dCrbOmBsTRk?feature=shared

Vor der Quantenmechanik hatten wir so bis 1890 eine schöne heile Welt. Die klassische Mechnik mit wenigen kleineren ungelösten Fragen. Dachte man.

Wir hatten Materie und Kräfte. Die Materie bestand aus Teilchen, die Kräfte waren Felder. Man musste also alle Teilchenarten finden und dann die Kraftfelder, die auf sie wirken, um das Verhalten der Teilchen mit Ort und Geschwindigkeit zu beschreiben. Dachte man.

Dann kam aber die Quantenmechanik und wollte statt mit Ort und Geschwindigkeit alles mit Wellenfunktionen beschreiben. so eine Welle hätte aber keinen Ort.

Verständnis der Quantenmechanik

Die Formalismen der Quantenmechanik dienen lediglich als Mittel zur Vorhersage der relativen Häufigkeit von Messergebnissen; diese werden als die einzigen Elemente der Realität angesehen.

Eine wirkliches “inneres” Verständnis der Quantenmechanik ist heute noch nicht vorhanden. Man kann zwar damit “rechnen”, weiss aber eigentlich nicht, was da “im Inneren” passiert. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Interpretations_of_quantum_mechanics

Zitat Richard Feynman: “I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
Link: https://www.researchgate.net/post/I_think_I_can_safely_say_that_nobody_understands_quantum_mechanics_R_Feynman_If_that_statement_is_true_how_can_we_know_if_QM_is_true

Elemente der Quantenphysik (vereinfacht)

Youtube Link “TheNilsor”: https://youtu.be/dtMHf8KGFvI?si=Bw8iABDcKgwzqqGU

Youtube Link “Quantum Sense”: https://youtu.be/3nvbBEzfmE8?si=Yvzk6_Dvtd1qHqzC

Quantenmechanisches System

  • Z.B. ein freies Elektron
  • Z.B. ein Elektron im Potential eines Protons (aka Wasserstoffatom)

Zustand

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines quantenmechanischen Systems durch ein Element eines Vektorraums V repräsentiert.

So einen Vektor \( v \in V \) schreibt man gerne in als Ket-Vektor, also \( | v > \).

Anmerkungen:

  • Siehe auch: Bra-Ket-Notation
  • Zu jedem zu beschreibenden quantenmechanischen System bauche ich also einen Vektorraum, dessen Elemente (Vektoren) die Zustände des Systems repräsentieren.
  • Wenn das quantenmechanische System nur aus einem Teilchen besteht sagt man statt “Zusand des Systems” auch gerne “Zustand es Teilchens”
  • In der Quantenmechanik nimmt man immer Vektorräume über dem Körper der Komplexen Zahlen
  • In diesem Vektorraum brauchen wir (für die Physik) noch ein “Inneres Produkt”, wodurch eine Metrik induziert wird und Grenzwert-Prozesse möglich sind.

Observable

Eine messbare physikalische Größe wird durch eine lineare Abbildung \(  M: V \rightarrow V \) repräsentiert.

So eine Abbildung nennt man auch “Operator” und scheibt sie gerne mit einem Dach-Symbol, also:  \(  \hat{M} \)

So ein Operator soll ja eine Messung des Systems in einem Zustand darstellen.

Falls der Zustand in dem gemessen wird ein Eigenvektor des Operators ist, also falls:

\(  M(\vec{v}) = \lambda \vec{v} \)

so wird der Eigenwert λ als Ergebniss (also als der Messwert) interpretiert.

Wir werden sehen, dass die Eigenwerte des Operators reelwertig sind und genau die möglichen Messwerte darstellen. 

Falls der Zustand in dem gemessen wird kein Eigenvektor des Operators ist, wird es komplizierter…

Anmerkungen:

  • So ein “Operator” ist aber, mathematisch gesehen, nichts weiter als eine Abbildung, die also einem Vektor einen weiteren Vektor (als Bild) zuordnet.
  • So eine Abbildung (Operator genannt) kann ja bekanntlich Eigenvektoren mit Eigenwerten haben.
  • Wenn wir eine Vektorbasis nehmen,  könnten wir so eine Abbildung durch eine Matrix repräsentieren  (weil wir ja nur lineare Abbildungen betrachten)…

Erwartungswert

Die Messung einer Observablen in einem Zustand, der als “Eigenzustand” bezeichnet wird, ergibt als Messwert den Eigenwert – wie oben beschrieben.

Wenn ich in einem Zustand v messe, der kein Eigenzustand ist, kann ich “nur” einen sog. Erwartungswert erhalten.

Da die Eigenvektoren meines Operators eine Vektorbasis bilden \( \{ E_i \} \), kann ich den betrachteten Zustand v darstellen als Linearkombination aus den Eigenvektoren:

\( v = \sum{a_i  E_i} \text{ mit } a_i \in \mathbb{C} \)

xyz  

Das Doppelspalt-Experiment mit Licht

Thomas Young (1773-1829) hat im Jahre 1802, das berühmte Doppelspalt-Experiment mit Licht unternommen. Es zeigt Interferenzmuster, was klar auf den Wellencharakter des Lichts hinweist. Damals war die gängige Lehre noch, dass Licht aus Teilchen besteht.

Das Experiment gehört zu den Schlüsselexperimenten der Physik.

Später hat man dieses Experiment auch mit Materiewellen, z.B. 1957 Claus Jönsson mit Elektronen, durchgeführt.

Das Plancksche Strahlungsgesetz

Max Planck (1858-1947) beschäftigte sich mit die Strahlung eines sog. “Schwarzen Strahlers”. Speziell ging es ihm darum, wie sich in Abhängigkeit von der Temperatur die abgestrahlte Energie über die Wellenlängen hin verteilt. Früheren Formeln zur Verteilung der Energie über die Wellenlängen z.B. von Wilhelm Wien und später von Rayleigh-Jeans waren nur Teilerfolge, da sie nur Näherungen für kleine Wellenlängen bzw. größere Wellenlängen waren.

Über das Plancksche Strahlngsgesetz habe ich eine separaten Blog-Beitrag geschrieben.

Quelle: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/historisch/schwarze_korper.html

Plancks Quantenhypothese

Häufig hört man, dass aus Plancks Formel angeblich die Aussendung der Energie in sog. Quanten (ganzzahlige Vielfache  von h mal ν) folgt. Das kann man aber aus der Formel selbst überhaupt nicht ableiten.

Vielmehr ist es so, dass Planck, nachdem er die Formel formuliert hatte, versuchte sie herzuleiten. Dabei modellierte er (angeblich) die elektromagnetische Strahlung (das Licht) als Teilchen, die sich wie ein Gas verhalten sollten. Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten solcher Teilchen modelliert Planck als unterschiedliche Wellenlängen der Strahlung…

Ein solches Teilchen sollte eine von der Frequenz seiner Strahlung abhängige Energie haben. Das ist die zentrale Formel (Quantenhypothese) von Planck:   \(E = h \cdot \nu \)

Der Photoelektrische Effekt

Einfacher für mich ist die Erklärung mit dem photoelektrischen Effekt. Nach Einstein (1879-1955) besteht das Licht aus Teilchen mit der Energie \(E = h \cdot \nu \), um den photoelektrischen Effekt zu erklären. Diese Lichtteilchen nennt Einstein Photonen. Allerdings haben die Photonen die Ruhemasse Null und bewegen sich in Vacuum immer mit der konstanten Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit c.

Nach Einstein nimmt die Intensität von Licht dadurch zu, dass mehr Photonen mit der gleichen Energie pro Teilchen abgestrahlt werden. Der photoelektrische Effekt wirkt aber erst dann, wenn das einzelne Photon die erforderliche Energie hat, um Elektronen aus dem Basismaterial herauszulösen. Es ist also nicht eine bestimmte hohe Intensität des Lichts erforderlich, sondern eine bestimmte hohe Frequenz, um die Auslösearbeit zu leisten…

Dieses Experiment zeigt den Teilchencharakter des Lichts mit Teilchen der Energie \( E = h \cdot \nu \).

Das Bohrsche Atommodell

Der Erfolg dieser Theorien brachte Niels Bohr (1885-1962) dazu, so eine Quantelung auch für die Enegieniveaus der Elektronen-Orbitale in seinem Atommodell anzunehmen.

Man stellt sich dabei so ein Orbital als eine stehende Welle (s. Wellenfunktion) vor.

Compton-Streuung

Der US-amerikanische Physiker Arthur Compton (1892-1962) machte 1922 das berühmte Experiment zur Streuung von Photonen an Elektronen. Dabei war die Frequnz des gestreuten Lichts kleiner als die Frequenz des eingestrahlten Lichts. Diese Differenz in der Frequenz erklärte er durch die an das Elektron übertragene Energie: \( \Delta E = h \cdot \nu_1 \, – \, h \cdot \nu_2 \)

Dieses Experiment zeigt erneut den Teilchencharakter des Lichts mit Teilchen der Energie \( E = h \cdot \nu \).

Dieser Effekt der Frequenzveränderung ist bei sichtbarem Licht so klein, dass man ihn damals nicht messen konnte. Bei kurzwelligerem Licht (Röntgenstrahlen) ist der Effekt deutlich größer, aber man braucht ein genaues Verfahren zum Messen der Wellenlänge von Röntgenlicht. Letzteres machte Compton mit einem Bragg-Kristall.

Materiewellen

Nun ist aber nicht nur so. dass Wellen Teilchencharakter haben, sondern auch Teilchen können Wellencharakter haben.

Zu diesem sog. Welle-Teilchen-Dualismus habe ich einen separaten Blog-Beitrag geschrieben.

Quantelung

Welche physikalischen Größen sollen den nun “gequantelt” sein; d.h. nur in ganzzahligen Vielfachen einer (kleinen) Elementargröße (=Quanten) vorkommen? Kommt jede physikalische Größe in “Quanten” oder nur bestimmte?

Ich habe in Heidelberg gehört, dass die Quantelung nur für physikalische Größen zutrifft, die konjugiert zu einer periodischen Größe sind. Was immer das heissen mag…

Die Wellenfunktion

Zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme (z.B. Photonen, Elektronen,…) verwendet die Quantenmechanik sog. Wellenfunktionen. Das sind komplexwertigen Funktionen, die vom Ortsvektor r und von der Zeit t abhängen können:

\( \Psi(r,t): \mathbb{R}^3  \times \mathbb{R} \to \mathbb{C} \)

Dabei, so sagt man, beinhaltet eine Wellenfunktion alle Informationen, um das betreffene quantenmechanische System zu beschreiben. Die Wellenfunktion selbst ist keine beobachtbare Größe, aber aus der Wellenfunktion lassen sich Wahrscheinlichkeitsdichten für alle denkbaren physikalischen Größen berechnen (mit Hilfe sog. Operatoren).

Wie man zu einem quantenmechanischen System die zugehörige Wellenfunktion findet, ist eine besondere Geschichte, die zur Schrödinger Gleichung führt…

Meine Hauptpunkte dazu:

  1. Wenn man eine Wellenfunktion hat, wie kommt man dann zu den Observablen? Stichworte: Operatoren, Korrespondenzprinzip,…
  2. Wie bekommt man überhaupt die Wellenfunktion zu einem quantenmechanischen System? Stichwort: Schrödinger,…

Die Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung deren Lösungen die Wellenfunktionen des betrachteten quantenmechanischen Systems sind.

Näheres dazu habe ich in einem separaten Blog-Artikel geschrieben.

Die Kopenhagener Deutung

Es war die Frage, was die Schrödingersche Wellenfunktion eigentlich bedeuten sollte…