Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Friedmann-Gleichung, Koordinatensysteme
Stand: 28.04.2025
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Robertson-Walker-Metrik
Die Robertson-Walker-Metrik wird auch Friedmann-Le Maitre-Robertson-Walker-Metrik (kurz: FLRW-Metrik) genannt, weil Friedmann und Le Maitre sie unabhängig von Roberson und Walker fast gleichzeitig gefunden hatten.
Unter den Annahmen von (räumlicher) Homogenität und (räumlicher) Isotropie kann die FLRW-Metrik aus den Einsteinschen Feldgleichungen hergeleitet werden wobei auch eine konstante Krümmung vorausgesetzt wird. Im Gegenstz zur Schwarzschild-Metrik beschreibt die FLRW-Metrik die großräumige Entwicklung des gesamten Kosmos.
Eine Metrik kann durch ihr Linienelement oder durch ihren Metrik-Tensor anggeben werden. In jedem Falle benötigen wir ein Koordinatensystem.
In kartesischen Koordinaten (x, y, z) wäre das Linienelement im klassischen dreidimensionalen Raum:
\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\)Die Kosmologen benutzen gerne sphärische Koordinaten (r, θ, φ). Damit wäre das Linienelement im klassischen dreidimensionalen Raum:
\( ds^2 = (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Nach der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) nehmen wie noch als vierte Dimension die Zeit hinzu und bekommen die sog. Minkowski-Metrik:
\( ds^2 = c^2 dt^2 – (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Für die Expansion des Universums nehmen wir noch den Skalenfaktor a(t) hinzu und erhalten:
\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2 (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Jetzt berücksichtigen wir noch die Raumkrümmung der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) durch den sog. Krümmungsparameter k. Wobei wir hier alternativ drei verschiedene Fälle betrachten können: k=0 ein flaches Universum, k=1 ein geschlossenes Universum, k=-1 ein offenes Universum. Wegen der Annahme der Isotropie ist der Einfluß der Krümmung unabhängig von der Richtung, also unabhängig von den Winkeln θ und φ. Die Krümmung beeinflußt also lediglich die Koordinate r.
\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2\Large (\frac{d r^2}{1 – k r^2} \normalsize+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Genaugenommen sind das mitbewegte sphärische Koordinaten (r, θ, φ).
Der zugehörige Metrik-Tensor
in Matrixdarstellung ist: