Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Mathematik, Physik, Diagramm, Teilchenphysik, Entfernungsbestimmung, Relativitätstheorie
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Stand: 16.02.2024
Kosmologie
In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben inklusive der Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
In der relativistischen Kosmologie geht es darum, eine Lösung von Einsteins Feldgleichungen zu finden, die in Übereinstimmung mit der Materieverteilung im Universum auf großen Skalen ist.
Link: https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Peacock/Peacock3_1.html
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…
Dieses “Standardmodell der Kosmologie” beruht auf zwei Dingen:
- der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie
- dem “Kosmologischen Prinzip”
Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie
Die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben, wie sich der Raum krümmt (Ricci-Tensor) in Anwesenheit von Energie und Materie (Energie-Impuls-Tensor).
\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)In dieser Formel sehen wir folgende Bestandteile:
- Energie-Impuls-Tensor: \( T_{\mu \nu} \)
- Metrischer Tensor: \( g_{\mu \nu} \)
- Ricci-Tensor: \( R_{\mu \nu} \)
- Kosmologische Konstante: Λ (später hinzugefügt)
Die Gleichungen sind so kompliziert, dass man sie ohne weitere Annahmen nicht geschlossen lösen kann. Als Annahme wurde darum das kosmologische Prinzip (s.u.) zusätzlich eingeführt.
Zur Allgemeinen Relativitätstheorie habe ich einen separaten Blog-Beitrag geschrieben.
Kosmologisches Prinzip
Das Kosmologisches Prinzip besagt, dass das Universum isotrop und homogen ist. Es gibt also keinen ausgezeichneten Ort und keine ausgezeichnete Richtung im Universum.
Isotropie (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und Homogenität (das Universum sieht an jedem Ort gleich aus).
Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen (d.h. ab mehreren hundert Megaparsec) der Fall ist.
Friedmann-Robertson-Walker-Metrik
Damit wir im Universum überhaupt Geometrie und später auch Differential- und Integralrechnung betreiben können, benötigen wir eine Metrik, die wir beispielsweise durch ein Linienelement beschreiben.
\( (ds)^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \)wobei der metrische Tensor \( g_{\mu\nu} \) vom Ort x abhängen kann.
Durch die Forderung nach Isotropie erhält man als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) das Friedmann-Robertson-Walker-Linienelement:
in der vierdimensionalen ungekrümmten (“flachen”) Raumzeit als:
\( (ds)^2 = c^2 (dt)^2 – a(t)^2 \left( (dx)^2 + (dy)^2 +(dz)^2 \right) \\ \)oder im gekrümmten Raum und in mitbewegten sphärischen Koordinaten (r, θ, φ) als:
\( (\mathrm{d} s)^{2}=c^{2}(\mathrm{d} t)^{2}-a(t)^{2}\left(\Large\frac {(\mathrm{d} r)^{2}}{1-k\ r^{2}} \normalsize + r^{2}(\mathrm{d} \theta)^{2} + r^2 sin^2 \theta \cdot (d\phi)^2\right)\ \)wobei
- a(t) der sog. Expansionsfaktor ist, auch “Skalenfaktor” genannt
- der Krümmungsparameter k = + 1 , 0 , − 1 ist
Das Ergebnis ist die FRW-Metrik – eine Raumzeitgeometrie, die das kosmologische Prinzip erfüllt. Diese Metrik bezeichnen manche auch als FLRW-Metrik, um den ebenfalls beteiligten George LeMaître (1894-1966) zu würdigen.
Die Friedmann-Gleichung
Alexander Friedmann fand unter der Annahme des Kosmologischen Prinzips (s.o.), und der FRW-Metrik seine berühmte Gleichung als Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen der ART.
Wenn man die FRW-Metrik sowie einen passenden Energie-Impuls-Tensor (s.o.) voraussetzt, reduzieren sich die Einsteinschen Feldgleichungen auf die Friedmann-Gleichungen. Ihre Lösung ist der zeitliche Verlauf des Skalenfaktors a(t) der FRW-Metrik.
Auch hierzu habe ich einen eigenen Blog-Artikel: Friedmann-Gleichung begonnen.
Kosmologie: Entfernungen im Universum
In der Kosmologie hat man zwei verschiedene Maße für Entfernungen im Universum (Davis & Lineweaver 2004):
Comoving Distance (mitbewegte Entfernung): Entfernung eines Objekts, die sich mit der Zeit nicht ändert – also die Expansion des Universums “herausgerechnet”. Die “Comoving Distance” wird definiert als identisch der “Proper Distance” zum jetzigen Zeitpunkt. Man spricht auch vom sog. Skalenfaktor a(t), der sich im Laufe der Zeit ändert. Zur Zeit t=heute ist a(heute)=1.
Proper Distance (Eigenentfernung): Entfernung eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wegen der Expansion des Universums ändert sich die “Proper Distance” mit der Zeit.
Urknall: Geschichte des Universums
Die Entwicklung des Universums nach dieses sog. “Standardmodell der Kosmologie” wird gerne in folgendem Bild dargestellt:
Abbildung 2: Geschichte des Universums (Wikipedia: History_of_the_Universe_%28multilingual%29.svg)
Beobachtungen zur Kosmologie
Expansion des Universums
Dass das Universum expandiert, haben ja Edwin Hubble et al. empirisch herausgefunden.
Eine Schlussfolgerung aus der Expansion des Universums ist der Begin des Universums mit einem sog. “Big Bang”.
Einsteins Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) haben zwar eine statische Lösung (Einstein – De Sitter Universum), aber die allgemeinen Lösungen ergeben ein dynamisches Universum z.B. mit einer Expansion.
Hierzu habe ich einen eigenen Blog-Post begonnen.
Kosmische Hintergrundstrahlung
Am 15.5.2018 nahm ich an einem Gesprächskreis über die “CMB” (Cosmic Microwave Background radiation) teil.
Themen waren u.a.:
- Wie kommt es, dass die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB) heute bei uns aus allen Richtungen gleichmäßig (“isotrop”) ankommt?
- Kann die Fluchtgeschwindigkeit von Galaxien bzw. die Expansionsgeschwindigket des Raumes schneller als die Lichtgeschwindigkeit sein?
- Woher kommt die Rotverschiebung der Galaxien?
Siehe auch: Kosmische Hintergrundstrahlung
Stark vereinfachtes Modell der Kosmologie
Dies stark vereinfachte Modell habe ich gefunden bei: http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/09/19/wie-gross-ist-das-beobachtbare-universum/
Nur eine Raumkoordinate: x und eine Zeitkoordinate: t
Messung der Zeit in Sekunden, Messung der Raumkoordinate in Lichtsekunden
Szenario 1:
Wir beobachten 7 Galaxien (n = 1, 2, …, 7), die sich vom Beobachter mit Fluchtgeschwindigkeit entfernen.
Anfangsbedingungen (zum Zeitpunkt t=0):
- Entfernung vom Beobachter: \( x_n(0) = n \)
- Fluchtgeschwindigkeit bezogen auf den Beobachter: \( \dot x_n(0) = \Large \frac{n}{4} \)
- Wir haben also zum Zeitpunkt t=0 eine Hubble-Konstante von \( H(0)= \Large \frac{\dot x(0)}{x(0)} = \large 0,25 \)
Differentialgleichung (Bewegungsgleichung): \( \dot x_n(t) = \Large \frac{n}{4} \)
Lösung: \( x_n(t) = \Large \frac{n}{4} t + n \)
Damit wäre der Hubble-Parameter in unserem “Vereinfachten Modell”:
\( H(t) = \Large \frac{\dot x}{x} = \frac{\Large \frac{n}{4}}{\Large \frac{n}{4} \cdot t + n} = \Large \frac{1}{t+4} \)
Abbildung 4: Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien (Github: Kosmologie-1.svg)
Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien
Szenario 2:
Zusätzlich zu Szenario 1 wird zum Zeitpunkt t=0 ein Lichtsignal von Galaxis 7 in Richtung des Beobachters gesendet.
Anfangsbedingungen (zum Zeitpunkt t=0):
- Entfernung des Signals vom Beobachter: x(0) = 7
- Geschwindigkeit des Signals in Bezug auf den Beobachter: v(0) = c – Fluchtgeschwindigkeit der Galaxie 7 also v(0) = 1 – (7/4) = – (3/4)
Bewegungsgleichung des Lichtsignals:
- v(t) = c – Fluchtgeschwindigkeit (x,t)
- \( \dot x = 1 – \Large \frac{x}{t + 4} \)
Abbildung 5: Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien mit einem Lichtsignal (Github: Kosmologie-2.svg)
7 Galaxien und ein Lichtsignal