Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem
Siehe auch: Himmelsmechanik, Entfernungsbestimmung, Newtonsche Mechanik, Lichtgeschwindigkeit
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Stand: 06.12.2024

Die Zeit von Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:

• 30 jähriger Krieg (1618-1648)
• Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
• Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
• Gallileo Galilei (1564-1642)
• Nikolaus Kopernikus (1473-1543)
• …

Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikimedia: FlammarionWoodcut.jpg)

Die Keplerschen Gesetze

Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen. Johannes Kepler konnte dies durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) herleiten; besonders die relativ starke Exzentrizität (0,0934) der Bahn des Planeten Mars brachte Kepler dazu Ellipsenbahnen anzunehmen. Einen genauen naturwissenschaftlichen Grund dafür konnte Kepler noch nicht angeben.

Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen (besser als 1 Bogenminute) der Postionen der Planeten und von ca. 800 Fixsternen gemacht.

Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.

Abbildung 2: Tycho Brahes Mauerquadrant (adsabs.harvard.edu)

Link: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1978JHA…..9…42W/0000044.000.html

1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)

Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.

Das erste Keplersche Gesetz

Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.

Nach Newton haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.

Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.

In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:

\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \)

 

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:

\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}}  \) (Wobei mit r_min und r_max immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)

Das zweite Keplersche Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.

Der Drehimplus des Sytems Sonne-Planet ist bekanntlich:

\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega   \)

Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infenitesimal:

\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)

Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)

Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html

Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.

Abbildung 3: Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne (GitHub: Ellipse.svg)

Das dritte Keplersche Gesetz

Das “Dritte Keplersche Gesetz” bezieht sich nicht auf die Umlaufbahn eines Planeten, sondern setzt die Umlaufbahnen zweier Planeten zueinander in Beziehung, die sich um den gleichen Zentralkörper in Ellipsen bewegen (eventuelle Störungen durch weitere Körper vernachlässigen wir dabei).
Hier geht Kepler also schon (impliziet) von einem heliozentrischen Weltbild aus (Kopernikus).

Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der mitteren Entfernung. Als Formel also:

\( \Large \frac{a^3_1}{T^2_1} =  \frac{a^3_2}{T^2_2} \\\)

Wenn man die Werte für die Planeten unseres Sonnensystems in doppelt logarithmischen Koordinaten aufträgt, bekommt man eine gerade Linie.

Abbildung 4: Keplers Drittes Gesetz Unser Sonnensystem  (GitHub: 20240604 Kepler Drittes Gesetz.svg)

Wenn wir als Beispiel einmal die Bahnen von Erde und Jupiter vergleichen, so bekommen wir:

Erde:      T₁ = 1 Jahr,           a₁ = 1 AE
Jupiter: T₂ = 11,86 Jahre,  a₂ = 5,2 AE

rechnerisch also:

\( \Large \frac{a^3}{T^2} = \frac{5.2^3}{11.86^2} = \frac{140.608}{140.6596} \\ \)

Durch Messung der (siderischen) Umlaufszeit eines Planeten könten wir so also die Gr0ße Halbachse seiner Bahn bestimmen.

Das Dritte Keplersche Gesetz sagt damit etwas aus über den Zentralkörper: die Sonne. Wenn wir ein wenig vorgreifen, ist es die Masse des Zentralkörpers (M), die wir aus der Bahn eines umlaufenden Himmelskörpers bestimmen können; nach der Formel:

\( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \pi^2}\\ \)

Schritt für Schritt kommen wir so zu diesem Ergebnis:

Wenn man die Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne mit T bezeichnet und die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne mit a, so kann man dieses Gesetz formelmäßig wie folgt formulieren:

\( \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Die Gravitationskraft (Anziehungskraft) muss immer genau der Zentripedalkraft in der Planetenbahn entsprechen. Also:

\(  F = G \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{a}   \)

Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:

\(  G \frac{M}{r^2} =  \frac{v^2}{a}   \)

Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:

\( v = \frac{2 \pi a}{T} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(  G \frac{M}{a^2} = \frac{4 \pi^2 a^2}{a \cdot T^2} \)

oder umgestellt:

\( \frac{G \cdot M}{4\pi} = \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm

Bestimmung der Jupitermasse

Anhand der Bahndaten des Jupitermondes Kallisto bestimmen wir die Masse des Jupiters mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Kallisto

• Umlaufzeit 16,689 Tage  =  1.441.929,60 s
• Große Halbachse  1882700 km =1.882.700.000 m   (zur Messung benötigt man die Entfernung)

Nach dem 3. Kaplerschen Gesetz finden wir:

\( M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1882700000^3}{1441929.6^2} = 1.90 \cdot 10^{27} kg\)