Physik: Wellengleichung

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Von Phythagoras bis Einstein, Schroedinger

Stand: 27.9.2024

Die Wellengleichung von D’Alembert

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_i} = 0 \)

für eine reelle Funktion u (t, x1, x2,…,xn) der Raumzeit.

Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x1, x2,…,xn) und  n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Die eindimensionale Wellengleichung

Im einfachen Fall nur einer Raumdimension (n=1) bekommen wir als Wellengleichung:

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} –  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \\\)

Und als Lösung  für harmonische Schwingungen bekommen wir als Wellenfunktion:

\( u(t,x) = A \sin (2\pi (\frac{c t}{\lambda} – \frac{x}{\lambda})) \\\)

Wobei A die Amplitude und λ die Wellenlänge sein soll.

Manchmal benutzt man auch die sog. Wellenzahl \( k = \frac{1}{\lambda} \).

Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum wäre (mit A=1, λ = 2π):

\( u(t,x) = \sin(x + ct) \)

Also eine eindimensionale Wellenfunktion.

Ebene Wellen

Eine ebene Welle ist eine Welle im dreidimensionalen Raum, deren Wellenfronten (d.h. Flächen gleichen Phasenwinkels) parallele Ebenen bilden. Die Ausbreitungsrichtung der Welle steht senkrecht dazu. Diese Richtung ist also räumlich konstant.

Siehe auch: Kugelwelle

Transversal – Longitudinal – Polarisierung

Eine Transversalwelle (Quer-, Schub- oder Scherwelle) ist eine Welle, bei der die Schwingung senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung erfolgt. Das Gegenteil ist eine Longitudinalwelle (Längswelle), bei der die Schwingung in Richtung der Ausbreitungsrichtung stattfindet.

Transversalwellen sind polarisierbar, da die Schwingung in der gesamten Ebene möglich ist, die senkrecht auf ihrer Ausbreitungsrichtung steht.

Stehende Wellen

Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.

An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.

Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: \( \frac{\lambda}{2} = L  \) und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.

Weiterführendes

Stehende Wellen spielen eine Rolle