Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Schrödinger-Gleichung, Materiewellen, Komplexe Zahlen, Lineare Algebra

Stand: 23.08.2024  (Observable, Zeitabhängigkeit, klassische Welle, Korrespondenzprinzip)

Die “klassische” Welle

Seit alters her beschreiben wir eine Welle durch eine Sinus- bzw. Cosinus-Funktion.

\( \Large y(t) = A \cdot \cos( 2\pi  f \cdot t + \Phi) \\ \)

Dabei ist A die Amplitude und Φ die Phasenverschiebung. Wobei wir die Frequenz f zunächst nicht weiter betrachten.

Das Paar aus Amplitude und Phasenverschiebung kann man sich als eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten vorstellen:

\( \Large z = A \cdot e^{i \Phi} \\\)

Wenn die Welle nicht nur von der Zeit abhängt, sondern auch von der Ortskoordinate, kann man ganz allgemein eine Wellenfunktion auch so schreiben:

\( \Large y(x,t) = A \cos{(kx – \omega t)} \\\)

Wobei  \( \Large k = \frac{2 \pi}{\lambda} \) die sog. Wellenzahl ist

und   \( \Large \omega = 2 \pi f \) die  sog. Kreisfrequenz

Link: https://youtu.be/MzRCDLre1b4

Die Wellenfunktionen in der Quantenphysik

Youtube: https://youtu.be/YJjHI7Gxn-s?si=iYv8Kg0MbKDfWvr7

In der klassischen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort x(t) und Implus p(t) beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. Wenn man den Zustand zu einem Zeitpunkt t=0 kennt, also x(0) und p(0), dann kann man alle zuküftigen Zustände berechnen durch Newtons berühmte Gleichung:

\( F = \, – m \ddot x \)   d.h. \( F = \, –  \dot p  \)

In der Quantenphysik macht man das mit der Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines quantenmechanischen Teilchens.

Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit Ψ(r,t).
Der Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht in Polar-Koordinaten durch einen Vektor mit einer Länge auch “Amplitude” genannt, und einem Winkel, auch Phase genannt.

Für die Darstellung Komplexer Zahlen in Polar-Koordinaten benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:

\(\Large z ={r} \cdot e^{i \cdot \phi} \\\)Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r auch genannt Amplitude) mit einem Drehwinkel (Φ auch genannt Phase) vorstellen.

Da der Wert der Wellenfunktion eine Komplexe Zahl ist, kann man sie nicht “direkt” beobachten; der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat ist aber eine nicht negative reelle Zahl und ist so der Beobachtung zugänglich.

Wir werden später sehen, dass man mit der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt eines Teilchens an einem bestimmten Ort (Aufenthaltswahrscheinlichkeit) und auch die Wahrscheinlichkeiten anderer Größen, sog. Observable berechnen (vorhersagen) kann. Daher auch der Spruch “Shut up and calculate”, angeblich auf Richard Feynman (1918-1988) zurückgehen soll…

Woher bekommen wir die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems? Die Wellenfunktion bekommen wir als Lösung der Schrödinger-Gleichung.

Die Kopenhagener Deutung der Wellenfunktion

Dazu habe ich einen eigenen Blog-Artikel geschieben: Kopenhagener Deutung.

Operatoren und Observable

Was ist ein Operator?

Ein Operator bildet einfach eine Funktion auf eine andere Funktion ab. Traditionell spricht man dann nicht so allgemein von einer “Abbildung”, sondern von einem “Operator”. Folgendes Beispiel für Operatoren habe ich aus einem Youtube-Video von Prof. Patrick Nürnberger entnommen:

Um zu zeigen, was ein Operator macht, nehmen wir für ein Beispiel als Funktion einfach einmal \( \Psi(x) = e^{-x^2} \) und als Operator nehmen wir, ebenfalls als Beispiel, die zweite Ableitung der Funktion nach x und schreiben diesen Operator als \( \Large \hat A = \frac{d^2}{dx^2} \).

Dann ist dieser Operator angewendet auf unsere Funktion (nach der Kettenregel):

\( \hat A \Psi = \frac{d^2}{dx^2} \, e^{-x^2} = \frac{d}{dx}(-2x \, e^{-x^2}) \\\)

Die Produktregel ergibt dann:

\( \hat A \Psi = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x \, e^{-x^2}) = (4x^2 – 2) e^{-x^2}\)

Was sind Observable?

Experimentell beobachtbare Größen eines physikalischen Systems, also Messgrößen.

Observable sind z.B.:

• Ort
• Impuls
• Kinetische Engergie
• etc.

Operatoren in der Quantenmechanik

Wahrscheinlichkeitsdichte

Den Zustand eines quantenphysikalischen Systems beschreiben wir durch die Wellenfunktion Ψ, die wir aber nicht direkt beobachten können und von der wir im Moment auch noch nicht wissen, wie sie ermitteln könnten. Um zu beobachtbaren Größen zu kommen, benutzen wir die oben eingeführten Operatoren, die auf die Wellenfunktion angewendet werden und dann beobachtbare Werte (“Observable”) liefern; aber auch nur als Wahrscheinlichtkeitsverteilung (woraus ich Erwartungswerte etc. berechnen kann).

In Analogie zur  Kopenhagener Deutung schreiben wir für eine beliebige Observable Q die Wahrscheinlichkeitsdichte als:

\(\Large \rho(Q) = \Psi^* \hat Q \Psi \\\)

Der zur Observablen \( Q \) zugeordnete  Operator \(\hat Q \) liefert dann zusammen mit der Wellenfunktion des quantenphysikalischen Systems die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Observablen (in reelen Zahlen).

In Analogie zur  Kopenhagener Deutung schreiben wir für eine beliebige Observable Q den Erwartungswert als:

\(\Large \langle \hat{Q} \rangle= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \hat{Q} \Psi dx \)

Das Korrespondenzprinzip

Der Begriff “Korrespondeszprinzip” hat je nach Kontext, verschiedene Bedeutungen.  In der Quantenmechanik hat ihn z.B. Niels Bohr bei seinem Atommodell eingeführt. In der Wellenmechanik versucht das Korrespondenzprinzip eine Korrespondenz zwischen klassischen Messgrößen und Operatoren herzustellen.

Welcher Operator wird in der Quantenmechanik für welche Observable genommen? Dazu haben wir zwei Beispiele:

Beispiel 1: Die Observable “Ort” (eindimensional):

Operator:   \( \Large\hat{x} \Psi(x,t) = x \cdot \Psi(x,t) \normalsize \text{ also Multiplikation}\)

Beispiel 2: Die Observable “Impuls” (eindimensional):

Operator: \( \Large\hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \normalsize \text{ also Ableitung} \)

Weitere Zuordnungen von Operatoren zu Observablen konstruieren wir daraus. Das nennt man Korrespondenzprinzip.

Fragen wir beispielweise nach dem Operator für die Observable eindimensionale “kinetische Energie”, so beginnen wir mit der klassischen Formel:

\( \Large E_{kin} = \frac{p^2}{2m} \\\)

und ersetzen dann die klassiche Größe Impuls p durch den obenstehenden Impuls-Operator:

\( \Large \hat{E}_{kin} = \frac{{\hat p}^2}{2m} = \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\\\)

Allgemein besagt das Korrespondenzprinzip, dass wir aus einer klassischen Messgröße, die vom Ort und vom Impuls abhängt, also \(f(x,p)\), in der Quantenmechanik einen “korrespondierenden” Operator bekommen: \( \hat{f}(\hat x, \hat p) \)