Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Standardmodell der Elementarteilchenphysik, Symmetrien, Äquivalenzrelation
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Stand: 30.8.2023
Was ist eine Gruppe?
Bei meiner Beschäftigung mit dem Standardmodell der Elementarteilchen bin ich auf das klassische Thema der Gruppentheorie gestoßen.
Eine Gruppe in der Mathematik ist eine Menge mit einer “inneren” Verküpfung (die man gerne mit dem Symbol “+” schreibt) und die bestimmten, unten aufgeführten Axiomen genügt.
Die Verknüpfung
Die Menge bezeichnen wir mal mit M und nehmen dann zwei Elemente aus dieser Menge:
\( a \in M \) und \( b \in M \)
Dann soll die Verknüpfung (geschieben als +) von a und b wieder in der Menge M liegen:
\( a + b \in M \)Die Axiome
Damit das ganze dann eine Gruppe ist, müssen folgende Axiome gelten:
Assoziativgesetz:
\( (a + b) + c = a + (b + c) \\ \)Existenz eines “neutralen Elements” e, sodass:
\( \exists e \in M \space \forall a \in M: a + e = a \\\)Existenz eines inversen Elements zu jedem Element der Gruppe:
\( \forall a \in M \space \exists b \in M : a + b = e \\ \)Beispiel 1: Die ganzen Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) mit der Addition als Verknüpfung bildet eine Gruppe.
Beispiel 2: Die Kleinsche Vierergruppe
Die Kleinsche Vierergruppe (nach Felix Klein 1849-1925) besteht aus vier Elementen, wobei jedes Element mit sich selbst invers ist.
Die Menge schreiben wir als:
V = {e, a, b, c}
Die Verknüpfung definieren wir über eine Verknüpfungstafel (auch Cayley Table genannt):
| e | a | b | c | |
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
Wie man leicht sieht, werden mit der so definierten Verknüpfung die Gruppenaxiome erfüllt.
Beispiel 3: Die komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis
In der komplexen Zahlenebene \(\mathbb{C}\) ist er Einheitskreis einfach die Teilmenge S der komplexen Zahlen, die wir definieren als:
\(S = \{ z \in \mathbb{C} \space : \space |z| = 1 \} \\ \)Als Verknüpfung auf dieser Menge nehmen wir die Multiplikation der komplexen Zahlen; geometrisch können wir uns das als Drehungen vorstellen.
Damit wird das Ganze eine Gruppe.
Symmetrien und Drehungen
Gruppen kann man also ganz axiomatisch Definieren, wie oben; in der Praxis sind die Elemente einer Gruppe typischerweise die Symmetrien eines Objekts.
Ganz allgemein bilden die Symmetrien eines Objekts eine Gruppe. Eine speziell Art von Symmetrien sind Drehungen.
Die Leute, die sich mit den verschiedenen Arten von “Drehungsgruppen” als Spezialgebiet beschäftigen, bezeichnen die Gruppe der komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis auch gerne als U(1); wobei die “1” bedeuten soll, dass wir nur eine Drehachse haben und das “U” steht für “unitär”, was man gerne zu einer Verknüpfung (Abbildung) sagt, wenn die Länge gleich bleibt (“längentreu”) – allerdings müsste man dann den Begriff “Länge” noch definieren.
Solche Gruppen, die aus Drehungen bestehen, spielen später im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle. Wobei eine Drehung auch als sog. “kontinuierliche Symmetrie” bezeichnet wird.
Da solche Drehungen ja “kontinuierlich” (im Gegensatz zu Spiegelungen) um auch beliebig kleine Winkel stattfinden können, kommt man damit auch in das Gebiet der Differentialgeometrie und letztlich zum Begriff der Lie-Gruppen (nach Sophus Lie, 1842-1899).
Vergleiche hierzu auch das YouTube-Video von Josef Gassner: https://www.youtube.com/watch?v=zFhjF6sfY4o
Nur für Mathematiker:
Drehungen im n-dimensionalen komplexen Raum sind lineare Abbildungen und damit als eine spezielle Art von nxn-Matrizen darstellbar.
\(U(n) = \{ U \in \text{ nxn Matrix } | \space U^\dagger U = I \} \)
Die nxn-Matrizen werden auch “General Linear Group” genannt und man schreibt sie als: \(GL(n,\mathbb{C}) \), wobei man zusätzlich fordert: det(U)>0 damit jede Matrix U invertierbar ist und so \(GL(n,\mathbb{C}) \) eine Gruppe ist.
Direktes Produkt von Gruppen
Wenn wir zwei Gruppen G und H haben, können wir das sog. “Direkte Produkt” dieser zwei Gruppen bilden, indem wir von den Mengen das cartesische Produkt \(G \times H\) nehmen und eine Verknüpfung auf diesem cartesischen Produkt komponentenweise definieren.
Wenn wir die Verknüpfungen mit dem Zeichen “+” schreiben, wäre das also:
Wobei uns klar ist, dass das Symbol “+” hier für drei verschiedene Verknüpfungen benutzt wird.
Die Menge \(G \times H\) ausgestattet mit der so definierten Verknüpfung bezeichnet man als “Direktes Produkt” der Gruppen G und H und schreibt das als \(G \oplus H\).