Mathematik: Variationsrechnung – Calculus of Variation

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Integralrechnung, Metrik, Lagrange-Formalismus, Pfad-Integral

Stand: 05.06.2024

YouTube: Dr. Juan Klopper

Idee der Variationsrechnung

Mit Hilfe der Variationsrechnung versucht man Minima zu finden.

Beispiele:

  • Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
  • Die kürzeste Zeit einer Bewegung (Fermat’sches Prinzip)
  • Die kleinste Oberfläche eines Volumens
  • Die kleinste “Wirkung” in einem physikalischen System (s.u.)
  • …

Im Gegensatz zur Schul-Mathematik suchen wir jetzt nicht einen Punkt, bei dem eine Funktion ein Minimum hat, sondern einen Pfad (also eine Funktion) bei der ein “Funktional” (Funktion von Funktionen) ein Minimum hat.

Die Euler-Lagrange-Gleichung

Wir haben eine Funktion entlang eines Pfades. Wobei so ein Pfad definiert sei durch eine Funktion y = y(x) zwischen den Stellen x1 und x2. Wir können eine Funktion F entlang eines Pfades “aufsummieren” d.h. integrieren. Wir suchen nun zu einer gegebenen Funktion F  denjenigen Pfad, bei dem dieser Integralwert ein Mininimum wird.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x, y, y^\prime) \, dx = Minimum \\\)

Um das Minimum dieses Integralwertes über alle Pfade zu finden, “differenziert” man S nach dem Pfad und schreibt δS=0; d.h. eine infinitesimal kleine Änderung im Pfad soll nur eine infinitesimal kleine Änderung in S bewirken. Man nennt einen solchen Pfad auch “stationär”.

Leonard Euler (1707-1783) entwickelte dazu die “Variationsrechnung”. Sein Trick war, “kleine Änderungen” eines Pfades mathematisch zu beschreiben und einen Methode zu finden, danach zu differenzieren.

Nach längerem Rechnen (auch mit Integration by Parts) bekommt man als Lösung der Minimum-Aufgabe die berühmte Euler-Lagrange-Gleichung,

\(\Large \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) = 0 \\\)

Beispiel

Mal ein ganz einfaches Beispiel: Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten P1 =(x1, y1) und P2 =(x2,y2):

\( S = \Large\int\limits_{P_1}^{P_2} ds = \int\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2 }\, dx  = Minimum\\ \)

Wir haben in diesem Fall also:

\( F(x, y, y^\prime) = \Large\sqrt{1 + {y^\prime}^2 } \\\)

Wir wollen auf diese Funktion F die obenstehende Euler-Lagrage-Gleichung anwenden und bestimmen dazu zunächst die einzelnen Terme:

\( \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \\ \)

und:

\( \frac{\partial F}{\partial y^\prime} = \frac{1}{2}  ( 1 +{ y^\prime}^2) ^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 y^\prime = \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}\\ \)

Wenn wir diese beiden Terme in die Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten wir schließlich:

\( \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) =  \frac{d}{dx}(\frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}) = 0\\\)

Wann ist eine Ableitung einer Funktion gleich Null? Wenn die Funktion eine Konstante (c)  ist. Also ist:

\( \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}} = c \\\)

Wenn wir dann diese Gleichung quadrieren und ein wenig umstellen erhalten wir:

\( (y^\prime)^2 = const. \\ \)

Damit ist auch y’ konstant und alle Lösungen dieser Differentialgleichung sind:

\( y = a x + b \\ \)

Also haben wir gerade Linien als Minimum des Abstands.

Somit  haben wir für einen ersten sehr simplen Fall die Richtigkeit der Euler-Langrange-Gleichung gezeigt.

Prinzip der kleinsten Wirkung

Wenn F = Ekin – Epot, nennt man das Integral, warum auch immer, “Wirkung” (engl. action) entlang des Pfades.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (E_{kin}(x, y, y^\prime) – E_{pot}(x, y, y^\prime)) \, dx = Minimum \\\)

Daraus ergibt sich die sog. Lagrange Mechanik.

Genaugenommen müsste der Pfad dann noch mit der Zeit t parametrisiert werden…