Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Quantenmechanik, Von Pytharoras bis Einstein, Schrödinger-Gleichung
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Stand: 29.7.2022

Die komplexen Zahlen

Ausgangspunkt ist die berühmte imaginäre Einheit: i² = -1

Eine komplexe Zahl schreibt man gerne als Realteil und Imaginärteil:

z = x + i*y      x = Re(z)   und   y = Im(z)

Wobei x und y reelle Zahlen sind.

Mit den Komplexen Zahlen kann man auch die vier Grundrechnungsarten, so wie wir sie von den “normalen” d.h. reellen Zahlen her kennen, ausführen – Die komplexen Zahlen bilden, mathematisch gesagt, einen “Körper”.

Zu jeder Komplexen Zahl gibt es die “komplex konjugierte“, die mit gern mit einem Sternchen als Superskript schreibt:

zur komplexen Zahl: z = x + i*y
ist die konjugierte:   z^* = x – i*y

Manchmal schreibt man die komplex konjugierte auch mit einem Strich über der Zahl. Also:

\( \overline{x + y \cdot i} = x – y \cdot i \)

 

Jede Komplexe Zahl hat auch einen “Betrag” (kann man sich als Länge vorstellen):

|z|² = x² + y²

Interessanterweise ist der Betrag (Länge) einer Komplexen Zahl auch:

|z|² = z z^*

Darstellung der komplexen Zahlen mit kartesischen Koordinaten

Die Reellen Zahlen konnte ich mir ja durch die sog. Zahlengerade gut veranschaulichen. Die Komplexen Zahlen würde ich mir dann durch die Punkte in einer Ebene veranschaulichen.

Polar-Darstellung der komplexen Zahlen

Wenn komplex Zahlen einfach als Punkte in der Ebene verstanden werden können, kann ich sie anstelle von kartesischen Koordinaten, alternativ auch in durch sog. Polarkoordinaten darstellen; d.h. durch die Entfernung vom Nullpunkt r und den Winkel mit der reellen Achse φ.

Für eine Komplexe Zahl z = x + i*y  gilt:

r² = x² + y²

tan φ = x/y

\(\displaystyle \tan{ \phi} = \frac{x}{y} \)

Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen

Die Eulerschen Formel ist:

\(\Large  e^{i  \cdot \phi} = \cos \phi+i \cdot \sin \phi \\\)

Damit können wir jede komplexe Zahl auch in sog. Exponential-Darstellung schreiben:

\(\Large z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \\ \)

Das funktioniert so gut, weil die Multiplikation von Potenzen der Addition der Exponenten entspricht und das mit den Summenformeln der Trigonometrie übereinstimmt.

Den Winkel φ nennt man auch “die Phase”.

Wenn die Komplexen Zahlen den Betrag 1 haben, also auf dem Einheitskreis liegen, hat man:

\( e^{i \phi} = cos{\phi} + i sin{\phi} \)

und man spricht von einer “reinen Phase”.

In der Quantenmechanik wird diese Exponentialdarstellung gerne benutzt, u.a. weil man damit die Multiplikation komplexer Zahlen sehr anschaulich darstellen kann:

\(\Large z_1 \cdot z_2 = {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i  \cdot (\phi_1 + \phi_2)} \\ \)

Sie auch Youtube-Video:

Die Eulersche Zahl

Definition der Eulerschen Zahl

Die Zahl e wurde von Leonhard Euler (1707-1783) als Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe definiert:

\(\displaystyle e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +  \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + …   \)

Oder:

\(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)

Die Exponentialfunktion

Potenzen zur Basis e bilden die Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt:

f(x) = e^x

Die Ableitung (Differentialquotient) der e-Funktion ist wiederum die e-Funktion:

f'(x) = e^x

Damit ergibt sich als Taylorsche Reihenentwicklung um den Entwicklungspunkt x₀ = 0

\(\displaystyle f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}  + …  + \frac{x^n}{n!} + …   \)

Allgemein wäre die Taylor-Reihe ja:

\( \displaystyle T_\infty(x;x_0) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^(k)(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \)

Da der Funktionswert und alle Ableitungen der e-Funktion an der Stelle x₀ = 0 sämtlich 1 sind, vereinfacht sich die Darstellung wie oben gezeigt.