Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Vektorraum, Zeitmessung, Metrik, Metrik-Tensor, Geometrie, Krümmung der Raumzeit
Benötigt: WordPress Latex-Plugin, Grafiken aus Github , Bilder aus Wikipedia

Übersicht Koordinatensysteme

Koordinatensysteme werden benutzt um Orte im (meist dreidimensionalen) Raum zu beschreiben – in der Astronomie: Orte von Himmelsobjekten am Himmel.

Von der Geometrie her kann man unterscheiden:

• Chartesische Koordinatensysteme (Längen auf rechwinkligen Achsen )
• Polarkoordinaten & Sphärische Koordinaten (Winkel und Radius)
• Andere (z.B. zylindrisch…)

Astronomische Koordinatensysteme

Koordinatenursprung

Genaugenommen muss man immer sagen, wo der sog. Ursprung des Koordinatensystem liegen soll; d.h. von wo aus gemessen wird. Das kann der Beobachter auf der Erdoberfläche (“topozentrisch”) sein, das kann der Erdmittelpunkt (“geozentrisch”) sein etc. etc. Da wir aber in der Astronomie typischweise es mit sehr weit entfernten Objekten zu tun haben, machen kleine Unterschiede im Koordinaten-Ursprung eigentlich nichts aus. Aber je genauer man misst, desto kleinere Unterschiede durch Ortsverschiebung des Koordinatenursprungs kommen ins Spiel. Das nennt man Parallaxe.

Der Klassiker aus der Schule: x-Achse und y-Achse

In der zweidimensionalen Ebene kann man geometrische Objekte und den Verlauf von Funktionen sehr gut mit einem x-y-Koordinatensystem (also chartesisch) beschreiben.

Der Klassiker für Sternfreunde: Höhe und Azimut

Der Ort eines Objekts am Himmel wird angegeben durch zwei Winkel (also sphärisch): den Höhenwinkel (Altitude, Symbol h); d.h. wieviel Grad über dem Horizont und der Himmelsrichtung (Azimut, Symbol A); d.h. wieviel Grad von Norden gezählt über Osten, Süden, Westen.

Als Abkürzung für dieses Koordinatensystem verwendet man AltAz

In diesem AltAz-Koordinatensystem kann man den täglichen Lauf der Gestirne schön beschreiben. Also Aufgang (h=0), Kulmination (A=180 Grad), Untergang (h=0).

Dieses AltAz-Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Horizontebene, und einen Nullpunkt für das Azimut, den Nordpunkt.

Abbildung 1: Azimutales Koordinatensystem (GitHub: Azimut_altitude3.svg)

Der Klassiker für Sternorte: Deklination und Rektaszension

Die Sterne, man sagt ja auch “Fixsterne” um sie von den offensichtlich beweglichen Himmelsobjekten wie Planeten etc. zu unterscheiden, sollten doch eigentlich feste Koordinaten haben, weil sie ja ortsfest sind. Genau genommen bewegen sich die Fixstern ja auch ein kleines Bisschen, aber das vernachlässigen wir hier zunächst.

Das Koordinatensystem benutzt die geografischen Koordinaten, die wir von der Erde her kennen (geografische Länge und Breite) analog; d.h. projiziert sie auf die HImmelskugel. Dadurch bekommen wir zwei Himmelspole (Nord und Süd) sowie den Himmelsäquator.

Aus der geografischen Breite wird am Himmel die sog. Deklination (Symbol δ); d.h. der Winkel, den sich das Himmelsobjekt über den Himmelsäquator erhebt. Deklination Null Grad ist der Himmeläquator selbst. Bei einer Deklination von 10 Grad steht der Fixstern etwas nördlich vom Himmelsäquator, bei Deklination 20 Grad noch weiter nördlich bis hin zur Deklination 90 Grad, wo das Objekt direkt am Himmelpol steht.

Aus der geografischen Länge wird am Himmel die sog. Rektaszension (Symbol α). Für diesen zweiten Winkel benötigt man einen Nullpunkt von dem an gemessen wird. Auf der Erde hat man sich auf die Sternwarte Greenwich geeinigt, die also die geografische Länge Null Grad haben soll. Geht man von da nach Osten, kommt man z.B. bei 10 Grad östlicher Länge in Hamburg auf der Lombardsbrücke an. Am Himmel wird als Nullpunkt der Rektaszension ein klar definierter Punkt auf dem Himmelsäquator genommen, der sog. Frühlingspunkt. Der Frühlingspunkt ist der Schnittpunkt des Himmelsäquators mit der Ekliptik, also der (scheibaren) Sonnenbahn. Die Ekliptik schneidet den Himmelsäquator in zwei Punkten: dem Frühlingspunkt wo die Ekliptik den Himmelsäquator von Süden nach Norden schneidet und den Herbstpunkt, wo die Ekliptik den Himmelsäquator von Norden nach Süden überquert.

Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Äquatorebene und einen Nullpunkt für die Rektaszension, den Frühlungspunkt.

Die Koordinate Rektaszension wird üblicherweise statt in Grad (360 Grad für einen vollen Kreis) auch gern in “Stunden” angegeben wird (24 Stunden für einen vollen Kreis).

Wenn man als Koordinaten Rektaszension und Deklination nimmt, spricht man von dem “rotierenden äquatorialen Koordinatensystem“.

Leider ist der von uns gewählte Nullpunkt der Rektaszension, der Frühlingspunkt, doch nicht ganz ortsfest. Aufgrund diverser Einflüsse bewegt sich dieser Frühlingspunkt in ca. 25800 Jahren einmal um den ganzen Himmel. Im Altertum (vor 2150 Jahren) lag der Frühlingspunkt beispielsweise im Sternbild Widder, heute liegt der Frühlingspunkt im Sternbild Fische. Deswegen muss man, wenn man genau sein will, zu den Koordinaten Deklination und Rektaszension immer das Jahr mit angeben zu dem der Frühlingspunkt als Nullpunkt genommen wurde. Man nennt das auch die “Epoche” oder richtiger “Equinox”. Heutzutage werden die Koordinaten gerne noch zum Equinox J2000,0 angegeben. Früher war üblich B1950.0 etc. etc. pp.

Stundenwinkel statt Rektaszension

Wenn ich ein Objekt am Himmel finden will (z.B. mit Feldstecher oder Teleskop oder…) nützen mit die Koordinaten Deklination und Rektaszension noch nicht viel, denn diese bleiben ja konstant und das Objekt verändert als Spiegelbild der Erdrotation laufend seine Position. Man nennt das die tägliche Bewegung der Gestirne. Man nimmt dann statt der Rektaszension den sog. Stundenwinkel (Symbol t) das ist der Winkelabstand des Objekts vom Meridian.

Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Äquatorebene und einen Nullpunkt für den Stundenwinkel, den Meridian.

Wenn man als Koordinaten Stundenwinkel und Deklination nimmt, spricht man von dem “ruhenden äquatorialen Koordinatensystem“.

Ob “ruhend” oder “rotierend”, es ist immer das Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen gemeint, also nicht die durch das Koordinatensystem beschriebenen Objekte. “ruhend” heißt bezüglich des festen Beobachters auf der Erde.

Ist von einem Objekt die Rektaszension bekannt, so kann man den Stundenwinkel dieses Objektes leicht berechnen:

Stundenwinkel = Sternzeit – Rektaszension

Wobei die Sternzeit hier die “Local Siderial Time” ist, also der Stundenwinkel der Mittleren Sonne am gegebenen Ort auf der Erde. Man muss also die bürgerliche (gesetzliche) Zeit der am Ort geltenden Zeitzone umrechnen in die mittlere Ortszeit am Beobachtungsort. Dazu benötigt man die geografische Länge.

Ekliptikale Koordinaten

Wenn man als Bezugsebene des Koordinatensystems nicht die Äquatorebene nimmt, sondern die Ebene der Ekliptik, spricht man von Ekliptikaler Breite (Symbol β) und Ekliptikaler Länge (Symbol λ), wobei als Nullpunkt der Ekliptikalen Länge ebenfalls der Frühlingspunkt festgelegt wird.

Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Ebene der Ekliptik und einen Nullpunkt, den Frühlingspunkt.

Galaktische Koordinaten

Die sog. Galaktischen Koordinaten beziehen sich auf die Ebene unserer Milchstraße, der Galaxis. Die Bezugsebene dieses sphärischen Koordinatensystems ist also die galaktische Ebene.

• Die galaktische Breite (Symbol b) wird senkrecht zur galaktischen Ebene gemessen, ausgehend vom galaktischen Zentrum nach (galaktisch) Norden positiv und nach Süden negativ.
• Die galaktische Länge (Symbol l) wird in der galaktischen Ebene entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen (bei Blickrichtung aus galaktisch Nord), wobei als Nullpunkt für die galaktische Länge das galaktische Zentrum (von der Sonne aus gesehen) genommen wird.
• Als Koordinatenursprung wird unser Sonnensystem genommen (da praktische alle Beobachtungen von dort gemacht werden)

Abbildung 2: Unsere Galaxis in Draufsicht, Position der Sonne und es Galaktischen Zentrums (Wikipedia Galactic_longitude.JPG)

Quelle: Wikipedia https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Galactic_longitude.JPG

Im Jahre 1958 wurden die heutigen galaktischen Koordinaten von der IAU eingeführt und mit den äquatorialen Koordinaten (Äquinoktikum B1950.0) wie folgt festgelegt:

• galaktischer Nordpol (+90° galaktische Breite):  α = 12h 49m Rektaszension und δ = +27° 24′ Deklination (im Sternbild Haar der Berenike)
• galaktisches Zentrum (0° galaktische Breite, 0° galaktische Länge): α = 17h 42,4m, δ = -28,92° (im Sternbild Schütze)

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Galaktisches_Koordinatensystem

Galaktische Koordinaten werden gene bei Darstellungen großer Zusammenhänge, z.B. der Struktur unseres eigenen Milchstraßensystems oder noch größere Zusammenhänge verwendet. Beispielsweise werden die Messungen der Kosmischen Hintergrundstrahlung typischerweise in galaktischen Koordinaten dargestellt.

Ein anderes Beispiel ist das Projekt: Digital Access to a Sky Century @ Harvard (DASCH) Link: http://dasch.rc.fas.harvard.edu/datarelease.php

Da sich das Sonnensystem in etwa 225 bis 250 Millionen Jahren einmal um das Zenrum der Michstrasse bewegt, wird nach obiger Definition die galaktische Länge des Zentrums der Galaxis sich auch in dieser Zeit um 360 Grad bewegen.

ICRS International Celestial Reference System

Das International Celestial Reference System (ICRS) ist das von der Internationalen Astronomischen Union (IAU) verabschiedete  Astronomische Koordinatensystem.

Der Koordinaten-Ursprung ist der Schwerpunkt des Sonnensystems, die Koordinaten-Achsen werden als “fest” bezüglich des Weltraums betrachtet.

Die ICRS-Koordinaten sind näherungsweise identisch mit den Äquatorialen Koordinaten zum Äquinoktikum J2000.0 Die Abweichungen sind:

• Der Nordpol im ICRS liegt 17.3±0.2 Milli-Bogensekunden in Richtung von 12h und 5.1±0.2 Milli-Bogensekunden in Richtung von 18h.

• Der Frühlingspunkt ist gegenüber dem Nullpunkt der ICRS Rektaszension um 78±10 Milli-Bogensekunden verschoben (Rotation um die Polachse).

Bei Radio-Wellenlängen wird der ICRS gegenwärtig durch den extragalaktische Reference Frame, den International Celestial Reference Frame (zur Zeit ICRF3) realisiert. Der ICRF3 basiert auf Hunderten extra-galaktischer Radioquellen. meist Quasaren, über den ganzen Himmel verteilt. Weil sie so weit entfernt sind, erscheinen sie stationär mit unserer gegenwärtigen Technologie, aber ihre Positionen können durch Very Long Baseline Interferometry (VLBI) sehr genau gemessen werden. Die meisten Positionen können auf 0.001 Bogensekunden oder besser bestimmt werden.

Bei optischen Wellenlängen wird der ICRS gegenwärtig durch den Hipparcos Celestial Reference Frame (HCRF) realisiert. HCRF ist eine Teilmenge von etwa 100,000 Sternen im Hipparcos Catalogue. Der Gaia-CRF2 Reference Frame basiert auf der Beobachtung von über einer halben Million extragalaktischer Quellen durch die Raumsonde Gaja. Dieser Gaja-CRF2 wurde 2018 veröffentlicht und wird beschrieben als “the first full-fledged optical realisation of the ICRS, that is to say, an optical reference frame built only on extragalactic sources.”

Quelle: Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/International_Celestial_Reference_System

Umrechnung zwischen Koordinatensystemen

Von AltAz (h, A) nach Äquatorial ruhend (Deklination, Stundenwinkel)

Es handelt sich ja um zwei sphärische Koordinatensysteme, die um einen Winkel φ, die geografische Breite, geneigt sind.
Die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie: dem Cosinus-Satzes im Polardreieck:

Abbildung 3: Polardreieck (Github: polardreieck.svg)

\( \Large \sin \delta = \sin \phi \cdot \sin h – \cos \phi \cdot \cos h \cdot \cos A \\\ \)

und

\( \Large \tan t = \frac{\sin A}{\sin \phi \cos A + \cos \phi \tan h} \\\  \)

Aber auch mit der ebenen Geometrie lässt sich einiges berechnen, z.B. die Tageslänge von Sonnenaufgang (h=0) bis Sonnenuntergang (h=0):

\( \cos t = – \tan \phi \cdot \tan \delta \\\ \)

Abbildung 4:  Tagbogen der Sonne (Github: Tageslaenge.svg)

Von Äquatorial rotierend (Deklination, Rektaszension) nach Äquatorial ruhend (Deklination, Stundenwinkel)

Es handelt sich ja um zwei sphärische Koordinatensysteme, die nicht gegeneinander geneigt sind. Lediglich die Nullpunkte sind unterschiedlich:

Deklination = Deklination

Stundenwinkel = Sternzeit – Rektaszension

Von Ekliptikal (ekliptische Breite, ekliptische Länge) nach Äquatorial (Deklination, Rektaszension)

Es handelt sich ja um zwei sphärische Koordinatensysteme, die um einen Winkel ε, die Schiefe der Ekliptik, geneigt sind:

\( \Large \sin \delta = \cos \epsilon \cdot \sin \beta + \sin \epsilon \cdot \cos \beta \cdot \sin \lambda \\\ \)

und

\( \Large \tan \alpha = \frac{\cos \epsilon \sin \lambda – \sin \epsilon \tan \beta}{\cos \lambda} \\\  \)