Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Friedmann-Gleichung, Einsteinsche Feldgleichungen, Delta Cepheiden

Stand: 02.05.2023

Expansion des Universums

Youtube Videos von Josef Gassner:

• Expansion • Skalenfaktor • Kosmologische Rotverschiebung • Hubble-Gesetz   vAzS (69): https://youtu.be/8avR8-2ndOA
• Häufige kosmologische Irrtümer vAzS(nn): https://youtu.be/MoZZvUCSae8

Edwin Hubble (1889-1953) hatte 1929 durch Beobachtungen herausgefunden, dass Galaxien eine Rotverschiebung aufweisen – und zwar um so mehr, je weiter sie von uns entfernt sind. Die Rotverschiebung (Symbol z) misst man unmittelbar im Spektrum, zur Bestimmung der Entfernung (Symbol R) konnte Hubble die von Henrietta Leawitt (1868-1921) im Jahre 1912 am Harvard College Observatory entwicklete Methode der Delta-Cephedien als Standardkerzen nutzen. Das nach ihm benannte Hubble-Gesetz ist also:

Rotverschiebung = z = const. * R

Wenn man die Rotverschiebung (s.u.) als verursacht durch eine Art “Fluchtgeschwindigkeit” (v  ≈ c * z) versteht, kann man also schreiben:

v = H * R

Wegen der Grundannahmen von Homogenität und Isotropie des Universums, geht man nicht davon aus, das wir im Mittelpunkt dieser Bewegungen stehen, sonden dass eine allgemeine und allseitige Längen-Skalierung stattfindet. Alle Längen (Symbol R) im Universum verändern sich mit der Zeit mit einem Faktor, was man als kosmologischen Skalenfaktor a(t) beschreibt. Eine Länge R₀ zum Zeitpunkt t=0 ist dann zum Zeitpunkt t:

R(t) = a(t) * R₀

Dies ist also eine Ausdehnung (oder Kontraktion) des Raumes allein. Die Zeit ist von diesem Skalenfaktor (des Raumes) nicht unmittelbar betroffen. Es wäre also falsch zu sagen, die Raumzeit dehnt sich aus – es ist nur der Raum, der skaliert.

Zum Zeitpunkt des “Urknalls” war a=0; heute ist a=1 (Konvention).

Der Skalenfaktor a(t) beschreibt die globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums. Lokal sind “kleinere” Abweichungen möglich. Diese globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums nennt man auch den “Hubble Flow“.

Oft wird auch gesagt,  dass sich Objekte im Universum sich nicht wirklich von uns entfernen mit einer sog. Fluchtgeschwindigkeit, sondern, dass der Raum zwischen uns und dem Objekt expandiert (was irgendwie auf das Gleiche herauskommt).

Um die Geschwindigkeit zu bekommen, differenziere ich obige Gleichung nach der Zeit (t):

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot R_0  \)

Nun setzte ich R₀ = R(t) / a(t) ein und erhalte:

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot \frac{R(t)}{a(t)}  \)

und damit:

\( v = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} R(t) \)

Was genau das Hubble-Gesetz ist, mit der Hubble-Konstanten:

\( \displaystyle \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}=H(t) \\\)

Als gegeben gilt für uns also die Expansion des Universums, die durch den Hubble-Parameter H(t) bzw. den Skalenfaktor a(t) beschrieben ist.

Quelle: https://youtu.be/8avR8-2ndOA

Wenn der Hubble-Parameter H(t) zeitlich konstant wäre (H(t) = H₀ für alle t), würde sich der Skalenfaktor a(t) ergeben als:

\( \Large a(t) = a_0 \cdot e^{H_0 \cdot t} \)

Ein Universum mit diesem Kosmologischen Modell nennt man ein de Sitter Universum…

Diese Expansion des Universums mit dem Hubble-Gesetz hatte George Lemaître (1894-1966) im Jahre 1927 bereits theoretisch (also ohne praktische Beobachtungen) aus den Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet. Da Lemaître also bereits zwei Jahre vor Hubble den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Entfernung herausbekommen hatte nennt man das Hubble-Gesetz auch manchmal “Hubble-Lemaître-Gesetz”.

Der Urknall (Big Bang)

Wenn man heute beobachtet, dass sich das Universum ausdeht, könnte man das “zurückrechnen” und käme irgendwann zu einem Zustand, bei dem das gesammte Universum auf einen ganz kleinen Punkt kompremiert wäre. Von diesem Zustand aus müsste das Universum dann expandiert sein, was man als Urknall bezeichnet.

Der Begriff “Urkanll” (engl. Big Bang) stammt von Fred Hoyle, der ein Anhänder des sog. Steady State Modells (also keine Expansion) war.

Dieser Urknall bezeichnet keinen Ort im Raum, sondern einen Zeitpunkt.

Das heute (2021) gängige Modell der Entstehung des Universums (genannt: “Standardmodell”) geht von einem sog. “Big Bang” aus; d.h. einer “Singularität” bei der die gesamte Masse und Energie des Universums in einem einzigen sehr heissen Punkt entstand und sich dann ausdehnte und abkühlte. Zunächst war das ein heisses Plasma aus Protonen, Elektronen und Photonen. In dieser frühen Phase des Universums konnte die Strahlung, also die Photonen, sich nicht frei bewegen, da die Photonen ständig von den freien Elektronen eingefangen und dann in zufällige Richtungen gestreut wurden. Dadurch leuchtete das ganze Plasma wie ein Feuerball.

Am Anfang war demnach ein “Big Bang”. Das Universum bestand aus sehr heißem Plasma (10³² Kelvin) und kühlte dann aber ab.
Das Universum bestand aus Materie (Protonen und freien Elektronen) sowie aus Strahlung (Photonen).
Die Photonen konnten nicht herausfliegen, weil sie extrem oft mit den freien Elektronen kollidierten.

Erst als das Universum soweit abgekühlt war, dass sich die Elektronen an die Protonen binden konnten (“Rekombination”) um Wasserstoffatome zu bilden, war der Weg für die Photonen frei; d.h. das Universum wurde durchsichtig. Das war bei einer Temperatur von ca. 3000 K der Fall und muss so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall gewesen sein. Die damals frei gewordene Strahlung empfangen wir heute als “Kosmische Hintergrundstrahlung”. Diese Hintergrundstrahlung zeigt also ein Bild des Universums von der Zeit in der sich die Strahlung von der Materie entkoppelte.

Solange die Temperatur schön heiß war, konnten die freien Elektronen nicht dauerhaft an die Protonen gebunden werden. Die Bindungsenergie eines Elektrons im Wasserstoffatom liegt bei 13,6 eV, was so ca. einer Temperatur von 3000 K entspricht. Erst bei einer Abkühlung auf ca. 3000 K konnten also die freien Elektronen an Protonen gebunden werden und sich so neutrale Wasserstoffatome bilden. Man nennt dieses “Rekombination” (obwohl es ja keine “erneute Kombination” war – aber der Begriff ist historisch). Nun gab es nur noch wenige freie Elektronen und der Weg war frei für die Photonen das Plasma zu verlassen.

Damit gab es zum ersten Mal “Licht” im Universum. Modellrechnungen ergaben, das diese “Rekombination” so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall geschah.

Raumausdehnung im Nahbereich – Gebundene Systeme

Wie würde sich eine Expansion des Raumes gemäß dieser Hubble-Konstante auf räumlich ausgedehnte Objekte (also keine als punktförmig gedachten Objekte) im Universum auswirken? Z.B. ändert sich der Abstand Erde-Mond ein klein wenig?

Die Frage ist: Hat die globale kosmologische Expansion einen Einfluss auf lokale Dynamik (Kräfte) bzw. lokale Kinematik (Entfernungen, Zeit). Man spricht da von “gebundenen Systemen” oder einem “gebundenen Zustand”; d.h. ein Zustand, wo mehrere Teilchen so aneinander gebunden sind, dass sie sich nach aussen wie ein Teilchen verhalten. Was man auch hört sind die Begriffe “gravitativ gebunden” und “elektromagetisch gebunden”.

Dazu dieses Google Sheet

Messung der Hubble-Konstante

Die nach Edwin Hubble benannte Hubble-Konstante, beschreibt die gegenwärtige Expansionsgeschwindigkeit des Universums.

Messungen zu Beginn des 21. Jahrhunderts ergaben Werte zwischen \(68 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) und \(74 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) .
Wobei 1 Mega Parsec = 3,086 * 10²² m ist.

Aus der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Konstante können wir entnehmen:

Unter Verwendung von Daten des Spitzer-Weltraumteleskops, basierend auf Beobachtungen im 3,6-μm-Bereich (mittleres Infrarot) zur Neukalibrierung der Cepheiden-Distanzskala, erhielten die Wissenschaftler des Carnegie Hubble Programs neue, hochgenaue Werte für die Hubble-Konstante. Dadurch konnte dieser nun um einen Faktor 3 genauer bestimmt werden. Er beträgt (74,3 ± 2,1) km/(s·Mpc). Damit hat die Hubble-Konstante nur noch eine Unsicherheit von drei Prozent (Stand 16. August 2012).

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s\cdot Mpc} }} \)

Die Hubble-Zeit

Als Hubble-Zeit bezeichnet man die Zeit, die seit dem Urknall vergangenen ist. In kosmologischen Modellen mit einer für alle Zeiten konstanten Expansionsgeschwindigkeit des Universums ist das der Kehrwert der Hubble-Konstanten.

Das ergibt sich wie folgt:

Betrachten wie eine Galaxis, die von uns einen Abstand von s₁ hat. So hat diese eine Fluchtgeschwindigkeit von v₁ = H₀ * s₁. Die Hubble-Zeit  wäre also die Zeit, wo diese Galaxis bei uns in einem Punkt, dem Urkanall, zusammen war. Wie lange brauchte die Galaxis um bei einer konstanten Geschwindigkeit v₁ die Strecke s₁ zurückzulegen? Das ist einfach:

\( {HubbleZeit} = \Large \frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1}{H_0 \cdot s_1} =  \frac{1}{H_0} \)

Den klassischen Wert der Hubble-Konstanten schreibt man ja in den Einheiten Mpc und km/s . Wenn man das entsprechend umrechnet bekommt man in SI-Einheiten:

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {10^3 \enspace m }{\mathrm {s\cdot 3{,}086 \enspace 10^{22} \enspace m} }} = (24{,}75 \pm 0.68) \cdot 10^{-19} s^{-1} \)

Damit bekommen wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large{\frac{1}{24{,}75}} \large\cdot  10^{19} \enspace s  \)

Wenn wir das in Jahren ausdrücken erhalten wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large\frac{10^{19}}{24{,}75 \cdot 365.25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60} \large Jahre =  12{,}8 \cdot 10^{9} Jahre\)

Entfernungen im expandierenden Universum

In einem expandierenden Universum (“Hubble Stream”) existiert kein eindeutiges Entfernungsmaß mehr. Dies widerspricht der menschlichen Alltagserfahrung im statischen Euklidischen Raum.

Link: http://www.atlasoftheuniverse.com/redshift.html

Wenn man die Entfernungen im Universum angeben will, stößt man schnell auf zwei (merkwürdige) Begriffe:

• Comoving Distance, Mitbewegte Entfernung:  D_c
• Proper Distance, Eigendistanz:   D_p

Die “Comoving Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream bleibt bei der Expansion des Universums immer gleich.

Die “Proper Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream nimmt zu mit der Expansion des Universums. Diese Definition von “Distance” ist rein theoretisch, denn wir können nicht sehen, wo ein Objekt “gerade jetzt” ist.

Es gilt die Beziehung:

\( D_p(t) = a(t) \cdot D_c \)

Link: https://scienceblogs.de/alpha-cephei/2018/05/28/was-ist-eine-mitbewegte-entfernung/

Rotverschiebung

In den Spektren von vielen Galaxien kann man eine Verschiebung der Linien zum Roten hin beobachten.

Als Rotverschiebung z definiert man den Quotienten der Differenz zwischen der Wellenlänge im Beobachtersystem (obs) und derjenigen im Emittersystem (em):

\(\displaystyle z = \frac {\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} \)

Edwin Hubble interpretierte die Rotverschiebung z als Dopplereffekt hervorgerufen durch eine Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien.

\(\displaystyle z \approx \frac{v}{c} \)    (für kleine Geschwindigkeiten)

Edwin Hubble konnte 1929 nachweisen, dass diese Rotverschiebung mit der Entfernung R der Galaxien zunimmt.  Es waren zwar nur 18 Galaxien, die Hubble untersuchte, doch mit wachsender Zahl hat sich dieses Ergebnis bestätigt. Dieser Zusammenhang ging als Hubble-Effekt in die Kosmologie ein und wird auch zur Entfernungsbestimmung benutzt.

\(\displaystyle v = H_0 \cdot R \)

Wenn man die Rotverschiebung als Effekt der Expasion des Universums (sog. Kosmologische Rotverschiebung) mit dem Skalenfaktor a(t)  interpretiert ist also:

\(\displaystyle z = \frac{\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} – 1 = \frac{1}{a} – 1 \\ \)

Oder, anders gesagt: Die Lichtwellenlänge wird gemäß dem Skalenfaktor “gedehnt”:

\( z + 1 = \Large \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{obs} \cdot a} = \frac{1}{a} \\\)

Das Hubble-Gesetz zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit v (bzw. der Rotverschiebung z) und der Distanz R mit einer Proportionalitätskonstante, der Hubble-Konstanten H₀. Die Linearität hat jedoch nur im nahen Universum ihre Gültigkeit, nämlich bis zu einem maximalen Abstand von gut 400 Mpc oder z  kleiner als 0,1. Für weiter entfernte Objekte bricht die Linearität zusammen.

Bei größeren Geschwindigkeiten (d.h. relativ zur Lichtgeschwindigkeit) müssen zusätzlich die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Dazu schreibe ich etwas in den separaten Blog-Posts   “Robertson-Walker-Metrik” und “Friedmann-Gleichung“.

Was man “in echt” beobachten kann, ist die Rotverschiebung z. Alles andere sind Interpretationen…

Eine kosmologische Rotverschiebung von z=1 bedeutet einen Dehnungsfaktor von 1+z, also 2, d.h. dass das Licht ausgesendet wurde, als das Universum nur halb so groß war, wie heute.

Die Hubble-Sphäre

Die Hubble-Sphäre ist der um den Beobachter gedachte kugelfömige Teil des Universums ausserhalb dessen sich Objekte aufgrund der Expansion des Universums mit Überlichtgeschwindigkeit entfernen. Diese Hubble-Sphäre ist also das beobachtbare Universum.

Der “proper” Radius einer Hubble-Sphäre (genannt Hubble-Radius oder Hubble-Länge) beträgt: \(  \Large \frac{c}{H_0} \)

Mit der obenstehenden Hubble-Konstante von 68 km pro Sekunde und Mpc und der Lichtgeschwindigkeit von 299792 km pro Sekunde ergibt sich

\(  \Large r_H = \frac{299792}{68} \enspace  Mpc = 4408{,}71 Mpc  = 14{,}37 \enspace Gly\)

Der Ereignis-Horizont

Der Ereignis-Horizont r_E ist diejenige Entfernung von uns, in der heute ein Signal ausgesendet werden könnte  (z.B.  ein Lichtstrahl), das wir irgendwann in der Zukunft wahrnehmen könnten.

\( \Large r_E = c \cdot \int\limits_{heute}^\infty \frac{dt}{a(t)}  \approx 16.7 \enspace Gly\)

Der Partikel-Horizot

Der Partikel-Horizont r_P begrenzt den Teil des Universums, von dem die Erde seit dem Urknall Informationen erreicht haben können.

\( \Large r_P = c \cdot \int\limits_0^{heute} \frac{dt}{a(t)} \approx 46.5 \enspace Gly \)

Dieser Partikel-Horizont definiert das für uns beobachtbare Universum.