Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Gruppentheorie, Vektorraum, Taylor-Entwicklung

Stand: 25.12.2023

Axiomatische Definition eines Körpers

Ein Körper ist eine Menge K mit zwei (zweistelligen) Verknüpfungen, die meist Addition und Multiplikation genannt werden. Für die folgende Axiome gelten:

(1) Bezüglich der Addition genannten Verknüpfung soll die Menge eine abelsche Gruppe sein – das Neutrale Element schreiben wir als: 0.

(2) Bezüglich der Multiplikation genannten Verknüpfung soll die Menge K ohne das Element 0 eine abelsche Gruppe sein – das Neutrale Element schreiben wir als: 1.
Es gibt also zu jedem Element \( k \in K  \text{ aber } k \neq 0 \)  ein Inverses, geschrieben \( k^{-1} \); also: \( k \cdot k^{-1} = 1 \).

(3) Distributivgesetz: \( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

Beispiele

Die Menge der Ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) bildet keinen Körper, sondern (nur) einen Ring.

Die Menge der Rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \) bildet einen Körper.

Die Menge der Reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) bildet einen Körper.

Die Menge der Komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) bildet einen Körper.

Ordnungsrelation auf \( \mathbb{Q} \)

Im Körper der Rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \)  können wir eine Ordnungsrelation definieren durch:

\( \Large \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} \normalsize \text{ genau dann, wenn: } a d \ge c b \text{ in } \mathbb{Z}  \)

Norm in \( \mathbb{Q} \)

Für ein Element  \( a \in \mathbb{Q} \) können wir eine Norm |a| definieren:

\( |a| = a \text{ wenn } a \geq 0, -a \text{ wenn } a  \lt 0  \\ \)

Diese Norm ist abgeschlossen in \( \mathbb{Q} \), denn es gilt:

\( a \in \mathbb{Q} \Rightarrow -a \in \mathbb{Q} \\\)

Die Norm ist also so etwas wie der Betrag oder auch die Länge.

Da \( \mathbb{Q} \) ein Körper ist, kann man die Norm auch über das Produkt definieren:

\( |a| = \sqrt{a \cdot a} \)

Metrik in \( \mathbb{Q} \)

Mit Hilfe der Norm können wir eine Metrik \( d: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to  \mathbb{R} \) definieren:

d(a,b) = |a – b|

Man spricht auch davon dass a und b einen “Abstand” von d(a,b) haben.

Folge und Grenzwert

Als Folge in einem Körper K wir bezeichnet eine Abbildung:

\( \mathbb{N} \to K \)

Meist geschrieben als: a₁, a₂, a₃,… mit a_i ∈ K.

Cauchy-Folge

Eine Folge a_i heisst Cauchy-Folge wenn für jedes (noch so kleine)  ε > 0 eine natürliche Zahl N_ε exisistiert, sodass:

\( | a_n – a_m | < ε \text{ für alle } n,m \in \mathbb{N} \text{ mit } n, m > N_\epsilon \\\)

Die Elemente einer Cauchy-Folge rücken also beliebig dicht aneinander. Wo bei “dicht” meint, dass der Abstand beliebig klein wird.

Grenzwert einer Folge

Eine Folge a_i hat einen Grenzwert g ∈ K wenn für jedes ε > 0 eine natürlche Zahl N_ε exisistiert, sodass:

\( | a_n – g | < ε \text{ für alle } n \in \mathbb{N} \text{ mit } n \gt N_\epsilon\\\)

Die Elemente der Folge kommen dem Grenzwert beliebig nahe. Man sagt auch, dass die Folge konvergiert gegen den Grenzwert.

Falls so ein Grenzwert g ∈ K exisitiert, schreiben wir:

\( g = \lim  \limits_{i \to \infty}  {a_i}  \\\)

Vollständigkeit

Wenn jede Cauchy-Folge von Elementen aus K auch konvergiert (und zwar gegen einen Grenzwert, der ebenfalls in K liegt), sagt man dass K vollständig sei.

Diese Eigenschaft wird später für Hilberträume (Vektorraum) wichtig werden.

Vektorraum

Jeder Körper K ist auch ein Vektorraum über K (also über sich selbst).